Question

以下給出的是用條件語句編寫的程序，根據該程序回答
READ   x
IF     x＜a    THEN   y=-x²+ax+b
ELSEy=x²-ax+b
END   IF
PRINT   y
END
（Ⅰ） 求證：輸入x的值互為相反數則輸出的y值也互為相反數的充要條件是a²+b²=0；
（Ⅱ） 設常數b＜2

2

-3，若在[0，1]隨機輸入x，則輸出的y值為負，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）充要條件的證明必須分清充分性與必要性．充分性是指若a²+b²=0時，判斷f（x）是奇函數；必要性是由f（x）是奇函數，判斷a²+b²=0；
（II）由于b＜2

2

-3＜0，故當x=0時，a取任意實數不等式恒成立，
當x∈(0，1]時，原不等式變為|x-a|＜-

b

x

，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

．所以只需對x∈（0，1]，a＞(x+

b

x

)max（1），a＜ (x-

b

x

)min（2）．下面只需要對（1）式，（2）式，分別研究即可得實數a的取值范圍．

解答：解：（I）充分性：若a²+b²=0時，即a=b=0，所以f（x）=x|x|．∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），對一切x∈R恒成立，∴f（x）是奇函數；
必要性：若f（x）是奇函數，則對一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b．
令x=0，得b=-b，所以b=0．
再令x=a，得2a|a|=0，∴a=0，即a²+b²=0．
（II）∵b＜2

2

-3＜0，∴當x=0時，a取任意實數不等式恒成立，
故考慮x∈(0，1]時，原不等式變為|x-a|＜-

b

x

，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

．∴只需對x∈(0，1]，滿足

a＞(x+ b x )max，(1) a＜(x- b x )min．(2)

對（1）式，由b＜0時，在(0，1]上，f(x)=x+

b

x

為增函數，∴(x+

b

x

)max=f(1)=1+b．∴a＞1+b．（3）
對（2）式，當-1≤b＜0時，在(0，1]上，x-

b

x

=x+

-b

x

≥2

-b

．
當x=

-b

時，x-

b

x

=2

-b

，∴(x-

b

x

)min=2

6

．∴a＜2

-b

．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必須有

1+b＜2 -b -1≤b＜0.

即-1≤b＜-3+2

2

．
∴當-1≤b＜-3+2

2

時，1+b＜a＜2

-b

．
當b＜-1時，在(0，1]上，f(x)=x-

b

x

為減函數，（證明略）

∴(x- b x )min=f(1)=1-b. ∴當b＜-1時，1+b＜a＜1-b.

綜上所述，當-1≤b＜2

2

-3時，a的取值范圍是(1+b，2

-b

)；
當b＜-1時，a的取值范圍是（1+b，1-b）．

點評：本題的考點是必要條件、充分條件及充要條件的判斷，主要考查充要性的證明，關鍵是讀懂信息，搞清充分性與必要性，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度