Question

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形，且三棱錐P﹣ABC的外接球表面積為，則直線PC與平面PAB所成角的正切值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

設三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，求出R，設M為△ABC的中心，N為AB的中點，

求出OM的長，再證明∠NPC就是直線PC與平面PAB所成角,利用直角三角函數求解.

設三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，

則S球＝4πR2，故R，

設M為△ABC的中心，N為AB的中點，

則OM⊥平面ABC，且OC，NC，MC，

∴OM2，

∵PA⊥平面ABC，故PA＝2OM＝4，∴PN，且PA⊥CN，又CN⊥AB，AB∩PA＝A，

∴CN⊥平面PAB，

所以∠NPC就是直線PC與平面PAB所成角.

∴tan∠NPC．