Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設，，是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，證明：直線與軸相交于定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求橢圓的方程即求出參數的值，從條件中列出兩個關于的方程，構成方程組求解；

（2）設出，，三點坐標，設出直線方程，運用 “設而不求”的思想方法，用表示出，，借助，表示直線與軸的交點，進而代入求解出點坐標.

解：（1）因為，

所以，

設以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓方程為，

則圓心到直線的距離，

解得，代入中，

即，

解得：，

故橢圓的方程為，

（2）設，，

由題知斜率肯定存在，設直線方程為，

聯立，

整理得，

則，，

直線的方程為：，

令，

則，

將，代入

得，

所以，

故直線過定點.