Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線AD₁與平面BB₁D₁D所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：計算題,空間角

分析：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，證明HA⊥平面BD₁，則根據線面角的定義∠AD₁H就是直線AD₁平面BD₁所成角，解直角三角形AD₁H即可．

解答： 解：取BD的中點H連接AH，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴BB₁⊥平面AC，
∴AH⊥BB₁，
又∴AH⊥BD且BD∩BB₁=B，
∴AH⊥面BD₁，
∴AH⊥D₁H，
∴∠AD₁H就是直線AD₁與平面BD₁所成角，
在直角三角形AHD₁中設AB=1則AH=

2

2

，AD₁=

2

∴sin∠AD₁H=

AH

AD1

=

1

2

∴cos∠AD₁H=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查直線和平面所成的角，求直線和平面所成的角關鍵是找到斜線在平面內的射影，把空間角轉化為平面角求解，屬基礎題．