Question

已知函數f（x），當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，f（x）＞0，試判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：利用單調性定義進行判斷，設x₁＜x₂，則利用f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），可得f（x₂）＞f（x₁），即可得到結論．

解答： 解：設0＜x₁＜x₂，則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，∴f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．

點評：本題考查用定義法研究函數的單調性．正確運用定義是關鍵．