Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為4，
（1）求橢圓的標準方程
（2）設直線l：y=kx+1與橢圓C相交于P，Q兩點，是否存在這樣的實數k，使得以PQ為直徑的圓過原點，若存在，請求出k的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得： 解得

所以橢圓的標準方程為

（2）解：假設存在這樣的實數k，使其滿足題意，設P（x1，y1），Q（x2，y2）

聯立方程組 ，

消去y得：（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，

由題意得：x1、x2是此方程的解

所以 ∴

因為PQ為直徑的圓過原點，

所以 ，即

解得 ，所以假設不成立，

所以，不存在這樣的實數k，使得以PQ為直徑的圓過原點

【解析】（1）利用已知條件列出列出求解橢圓的幾何量求解橢圓的標準方程．（2）假設存在這樣的實數k，使其滿足題意，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），聯立方程組 ，利用韋達定理，以及 ，轉化求解即可．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．