Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥AC，AB=AC=A₁B=2，頂點A₁在底面ABC上的射影恰為點B．
（1）求異面直線AA₁與BC所成角的大小；
（2）在棱B₁C₁上確定一點P，使AP=

14

，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AA₁與棱BC所成的角的大小．
（2）分別求出平面P-AB-A₁的法向量和平面ABA₁的法向量，利用向量法能求出二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值．

解答： 解：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，
則C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
∴

AA1

=（0，2，2），

BC

=

B1C1

=（2，-2，0），
cos＜

AA1

，

BC

＞=

-4

8 • 8

=-

1

2

，
∴AA₁與棱BC所成的角是

π

3

．
（2）設

B1P

=λ

B1C1

=(2λ，-2λ，0)，
則P（2λ，4-2λ，2），

AP

=(2λ，4-2λ，2)，
∴|

AP

|=

4λ2+(4-2λ)2+4

=

14

，解得λ=

1

2

或λ=

3

2

（舍），
則P為棱B₁C₁的中點，其坐標為P（1，3，2），
設平面P-AB-A₁的法向量為

n1

=(x，y，z)，
則

n1 • AP =x+3y+2z=0 n1 • AB =2y=0

，令z=1，得

n1

=（-2，0，1），
由題意知平面ABA₁的法向量為

n2

=（1，0，0），
設二面角P-AB-A₁的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-2

5

|=

2 5

5

，
∴sinθ=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

．
∴二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值為

5

5

．

點評：本題考果二面角的異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．