Question

（06年山東卷理）（12分）

如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊△所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設

（1）求證直線是異面直線與的公垂線；

（2）求點A到平面VBC的距離；

（3）求二面角的大小。

Answer 1

解析：解法1：（Ⅰ）證明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，

，

又，.

為與的公垂線.

（Ⅱ）解法1：過A作于D，

      

 

∵△為正三角形，∴D為的中點.

∵BC⊥平面，∴，

又，∴AD⊥平面，

∴線段AD的長即為點A到平面的距離.

在正△中，.

∴點A到平面的距離為.

解法2：取AC中點O連結，則⊥平面，且=.

由（Ⅰ）知，設A到平面的距離為x，

，

即，解得.

即A到平面的距離為.

則

所以，到平面的距離為.

(III)過點作于，連，由三重線定理知

是二面角的平面角。

在中，

。

。

所以，二面角的大小為arctan.

解法二：

取中點連,易知底面，過作直線交。

取為空間直角坐標系的原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系。

則。

（I），，

，

。

又

由已知。，

而。又顯然相交，

是的公垂線。

（II）設平面的一個法向量，

  又

  由

取 得

點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值。

，設所求距離為。

       則

       ，所以，A到平面VBC的距離為.

（III）設平面的一個法向量

 由    

 取    

二面角為銳角，

所以，二面角的大小為