Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2.

(1)求證：AO⊥平面BCD；

(2)求異面直線AB與CD所成角的大小；

(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

Answer 1

思路解析:本題綜合性較強(qiáng)、需利用線面垂直的判定定理證明線面垂直、然后用平移法求異面直線所成的角.

方法一:(1)證明：連結(jié)OC.

∵BO=DO、AB=AD、∴AO⊥BD.∵BO=DO、BC=CD、∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=.而AC=2，∴AO²+CO²=AC².

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC.∴BD∩OC=O.∴AO⊥平面BCD.

(2)解：取AC的中點(diǎn)M、連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB、OE∥DC.

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.

在△OME中，EM=AB=,OE=DC=1、

∴OM是Rt△AOC斜邊AC上的中線.

∴OM=AC=1.

∴cos∠OEA=.

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos.

(3)解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.

∵V_A—ACD-V_A—CDE,∴h·S_△ACD=·AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=2,

∴S_△ACD=

而AO=1,S_△CDE=

∴h=

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為.

方法二：(1)同方法一.

(2)解：以O為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0、0、1)、E(,0)、=(-1、0、1)、=(-1、-、0).

∴cos〈〉=

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos.

(3)解：設(shè)平面ACD的法向量為n=(x、y、z)、則

令y=1，得n=(-,1,)是平面ACD的一個(gè)法向量.

又=(-,0),

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離h=