Question

如圖，設(shè)、分別是圓和橢圓的弦，且弦的端點(diǎn)在軸的異側(cè)，端點(diǎn)與、與的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號.

（Ⅰ）若弦所在直線斜率為，且弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的方程；

（Ⅱ）若弦過定點(diǎn)，試探究弦是否也必過某個定點(diǎn). 若有，請證明；若沒有，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）弦必過定點(diǎn).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意得：直線的方程為

，，設(shè)

，將代入檢驗(yàn)符合題意，

故滿足題意的直線方程為：

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圓的方程為：分

設(shè)、、、，

∵點(diǎn)在圓上，    ∴，………①

∵點(diǎn)在橢圓上，  ∴，………②

聯(lián)立方程①②解得：，同理解得： 

∴、    ∵弦過定點(diǎn)，

∴且，即，

化簡得 

直線的方程為：，即，

由得直線的方程為：，

∴弦必過定點(diǎn).

解法二：由（Ⅰ）得：圓的方程為：

設(shè)、，

∵圓上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的倍可得到橢圓，

又端點(diǎn)與、與的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號，

∴、 

由弦過定點(diǎn)，猜想弦過定點(diǎn). 

∵弦過定點(diǎn)，∴且，即……① ,,

由①得，

∴弦必過定點(diǎn).

考點(diǎn)：本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評：本題以直線、圓、橢圓為載體，綜合考查推理論證能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．