Question

如圖，設AB、A′B′分別是圓O：x²+y²=a²和橢圓的弦，端點A與A′、B與B′的橫坐標分別相等，縱坐標分別同號．
（Ⅰ）若橢圓C的短軸長為2，離心率為，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若弦AB過定點，試探究弦A′B′是否也必過某個定點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓C的短軸長為2，離心率為，求出幾何量，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）解法一：利用點A在圓O上，點A′在橢圓C上，確定A′，B′的縱坐標，利用弦AB過定點，確定直線A′B′的方程，從而可得弦A′B′必過定點；
解法二：根據圓O上的每一點橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的倍可得到橢圓C，端點A與A′、B與B′的橫坐標分別相等，縱坐標分別同號，由弦AB過定點，猜想弦A′B′過定點，進一步可證得結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，b=1，，…（2分）
解得：a²=4，所以橢圓C的方程為：．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圓O的方程為：x²+y²=4．…（5分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、A′（x₁，m）、B′（x₂，n），
∵點A在圓O上，∴，…①
∵點A′在橢圓C上，∴，…②
聯立方程①②解得：，同理解得：．
∴、．…（8分）
∵弦AB過定點，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即，
化簡得…（10分）
直線A′B′的方程為：，即，
由得直線A′B′的方程為：，
∴弦A′B′必過定點．…（12分）
解法二：由（Ⅰ）得：圓O的方程為：x²+y²=4．…（5分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵圓O上的每一點橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的倍可得到橢圓C，
又端點A與A′、B與B′的橫坐標分別相等，縱坐標分別同號，
∴、．…（8分）
由弦AB過定點，猜想弦A′B′過定點．…（9分）
∵弦AB過定點，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即…①…（10分）
，，
由①得=，
∴弦A′B′必過定點．…（12分）
點評：本小題主要考查直線、圓、橢圓等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想．