Question

【題目】已知定義在上的函數的圖像關于直線對稱，且當時，，過點作曲線的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數的最小值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

當時，，可得函數在為增函數，結合函數的對稱性可得函數的最小值為,進而分析可得點作曲線的兩條切線的斜率，設右側的切點為，求出函數的導數，由導數的幾何意義可得，即，結合兩點間連線的斜率公式可得，即，聯立兩式求出的值，代入函數的解析式可得結果.

根據題意，分析可得當時，，

則函數在為增函數，

又由函數的圖象關于直線對稱，函數在為減函數，

所以函數的最小值為，

點作曲線的兩條切線，

則兩條切線的關于直線對稱，即兩條切線的斜率互為相反數，

若兩條切線互相垂直，切線的斜率，

設右側的切點為，

因為，所以導數，

則有，即，①

又由切線過點，可得，

即，解可得，②

聯立①②可得，

則函數的最小值為，故選B.