【題目】如圖，四棱錐
的底面
是直角梯形,
,
,側面
底面,
是等邊三角形，
，點
分別是棱
的中點 .
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）在線段
上存在一點
，使
平面
，且
，求
的值.
【答案】(1)詳見解析;(2) 
;(3) 
.
【解析】
試題
(Ⅰ)由題意證得
，結合線面平行的判斷定理可得
平面
.
(Ⅱ)建立空間直角坐標系，結合平面的法向量可得二面角
的大小為30°；
(Ⅲ)利用(II)中的空間直角坐標系結合空間向量的坐標表示得到關于實數(shù)
的方程，解方程可得.
試題解析：
（Ⅰ）證明：設
是
的中點，連接
∵ 
分別是
的中點
∴ 
，
，∴
∴ 
四點共面
∵ ，
平面
，∴平面
（Ⅱ）
∵ 平面
底面，
∴ 
平面，過點
作
軸與平面
垂直，則軸
平面
以
分別為
軸，
軸建立空間直角坐標系
設平面
的法向量為
，則
設平面的法向量為
，
，
，
，
∴
∴ 
，∴所求二面角大小為.
（Ⅲ）
，
，
，
，設
，
，
∴ 
，
∵ 
平面
，∴
∴ 
， .
激活思維優(yōu)加課堂系列答案
活力試卷系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】各項均為正數(shù)的數(shù)列
的前
項和為
，且對任意正整數(shù)，都有
．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）如果等比數(shù)列
共有2016項，其首項與公比均為2，在數(shù)列的每相鄰兩項
與
之間插入
個
后，得到一個新的數(shù)列
．求數(shù)列中所有項的和；
（3）是否存在實數(shù)
，使得存在
，使不等式
成立，若存在，求實數(shù)的范圍，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
．
（Ⅰ）當
時，求函數(shù)
的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線
在點
處的切線
與曲線
切于點
，求
的值；
（Ⅲ）若
恒成立，求
的最大值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
.
（1）若曲線
在點
處的切線與直線
平行，求
與
滿足的關系；
（2）當
時，討論
的單調性；
（3）當
時，對任意的
，總有
成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，
是橢圓
：
上的點，過點
的直線的方程為
.
（1）求橢圓的離心率；
（2）當
時，
（i）設直線
與
軸、
軸分別相交于
，
兩點，求
的最小值；
（ii）設橢圓的左、右焦點分別為
，
，點
與點關于直線對稱，求證：點，，三點共線.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的離心率為
，橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為4.
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）直線
與橢圓
交于
， 
兩點， 
的中點
在圓
上，求
（
為坐標原點）面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】車間將10名技工平均分成甲乙兩組加工某種零件,在單位時間內每個技工加工的合格零件數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.已知兩組技工在單位時間內加工的合格零件平均數(shù)都為10.
(1)分別求出
,
的值;
(2)質檢部門從該車間甲乙兩組技工中各隨機抽取一名技工,對其加工的零件進行檢測,若兩人加工的合格零件個數(shù)之和大于17,則稱該車間“質量合格”,求該車間“質量合格”的概率;
(3)根據(jù)以上莖葉圖和你所學的統(tǒng)計知識,分析兩組技工的整體加工水平及穩(wěn)定性.
(注:方差
,其中
為數(shù)據(jù)
,
,…,
的平均數(shù)).
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinskitriangle）是一種分形幾何圖形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個自相似的例子，其構造方法是：
（1）取一個實心的等邊三角形（圖1）；
（2）沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形；
（3）挖去中間的那一個小三角形（圖2）；
（4）對其余三個小三角形重復（1）（2）（3）（4）（圖3）.
制作出來的圖形如圖4，圖5，….
若圖3（陰影部分）的面積為1，則圖5（陰影部分）的面積為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】【選修4-4，坐標系與參數(shù)方程】
在直角坐標系
中，直線
的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)），在以O為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為
（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線與
軸的交點為P，直線與曲線C的交點為A,B,求
的值.
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