Question

（本小題滿分12分）設函數

（Ⅰ）當a=0時，在（1,+∞）上恒成立，求實數的取值范圍;

（Ⅱ）當=2時，若函數在［1,3］上恰有兩個不同零點，求實數的取值范圍;

（Ⅲ）是否存在實數，使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出的值，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x，即

記，則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于.------------2分

求得 當時;;當時，

故在x=e處取得極小值，也是最小值，即，故.-------4分

（Ⅱ）函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a

在［1,3］上恰有兩個相異實根。令g(x)=x-2lnx,則，

 當時，,當時，

g(x)在[1,2]上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數。--------------------------6分

故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3 

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3]--------------8分

（Ⅲ）存在m=，使得函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性

,函數f(x)的定義域為（0,+∞）。

若，則，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，不合題意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故時，函數的單調遞增區間為(,+∞)單調遞減區間為(0, ) ---------10分

而h(x)在(0,+∞)上的單調遞減區間是(0,)，單調遞增區間是(，+∞)

故只需=，解之得m=

即當m=時，函數f(x)和函數h(x)在其公共定義域上具有相同的單調性。----------12分