Question

解答題：解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟． 已知函數f(x)=－x2＋bx＋ (1) 若f(x)有極值，求b的取值范圍 (2) 當f(x)在x=1處取得極值時，①若當x∈［－1，2］時，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍；②證明：對［－1，2］內的任意兩個值x1，x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜＜．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

∵f(x)=x3－x2＋bx＋c，∴f`(x)=3x2－x＋b 要使f(x)有極值，則f`(x)=3x2－x＋b=0有實數解………………………2分 從而△＝1－12b≥0，∴b≤……………………………………………………3分 當b=時，函數在R上嚴格遞增，∴b＜………………………………4分

(2)

∵f(x)在x=1處取得極值 ∴f`(1)=3－1＋b=2＋b=0 ∴b＝－2…………………………………………………………………………5分 ①∴f(x)=－x2－2x＋c ∵f`(x)=3x2－x－2=(3x＋2)(x－1) ∴當x∈時，f`(x)＞0，函數單調遞增 當x∈(－，1)時，f`(x)＜0，函數單調遞減 ∴當x=－時，f(x)有極大值＋c………………………………………8分 又f(2)=2＋c＞＋c，f(－1)=＋c＜＋c ∴x∈［－1，2］時，f(x)最大值為f(2)=2＋c ∴c2＞2＋c ∴c＜－1或c＞2…………………………………………………………………10分 ②由上可知，當x=1時，f(x)有極小值－＋c 又f(2)=2＋c＞－＋c，f(－1)=＋c＞－＋c…………………………12分 ∴x∈［－1，2］時，f(x)的最小值為－＋c ∴｜f(x1)－f(x2)｜＜｜fmax(x)－fmax(x)｜=，故結論成立．………14分