Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為點，，其離心率為，短軸長為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于，兩點，過點的直線與橢圓交于，兩點，且，證明：四邊形不可能是菱形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題（1）由，及，可得方程；

（2）易知直線不能平行于軸，所以令直線的方程為與橢圓聯立得，令直線的方程為，可得，進而由是菱形，則，即，于是有由韋達定理代入知無解.

試題解析：

（1）由已知，得，，

又，

故解得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1），知，如圖，

易知直線不能平行于軸.

所以令直線的方程為，

，.

聯立方程，

得，

所以，.

此時，

同理，令直線的方程為，

，，

此時，，

此時.

故.

所以四邊形是平行四邊形.

若是菱形，則，即，

于是有.

又，

，

所以有，

整理得到，

即，上述關于的方程顯然沒有實數解，

故四邊形不可能是菱形.