Question

如圖，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A，A₁B，A₁C都與平面ABC所成的角相等，∠CAB=90°，AC=AB=A₁B=a，D為BC上的點(diǎn)，且A₁C∥平面ADB₁．求：
（Ⅰ）A₁C與平面ADB₁的距離；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-C的大小；
（Ⅲ）AB₁與平面ABC所成的角的大小．

Answer 1

分析：解法一：
（1）求直線到平面的距離的距離通常可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離．根據(jù)三棱柱的結(jié)構(gòu)特征可證明：A₁E⊥平面ADE，所以A₁E為點(diǎn)A₁到平面ADE的距離，即A₁C與平面ADB₁的距離；
（2）二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．因?yàn)槔庵鵄BC-A₁B₁C₁中，A₁A，A₁B，A₁C都與平面ABC所成的角相等，∠CAB=90°，AC=AB=A₁B=a，D為BC上的點(diǎn)，則A₁D⊥平面ABC，過(guò)D作DG⊥AB，連A₁G，則A₁G⊥AB，∠A₁DG為二面角A₁-AB-C的平面角．
（3）直線與平面所成的角，首先要找出垂直于平面的直線，取BD中點(diǎn)F，連EF∥A₁D，又由（1）可知：A₁D⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，連AF，則∠EAF為A₁B與平面ABC所成的角．
解法二：（向量法）
分別以AB、AC為x、y軸，平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0）B（a，0，0），C（0，a，0），連A₁B，由條件知，△A₁AB和△A₁AC均為等邊△且邊長(zhǎng)為a，所以∠A₁AB=∠A₁AC=60°，設(shè)A（x，y，z），根據(jù)余弦定理可得：A(

1

2

a，

1

2

a，

2

2

a)，設(shè)A1B與AB1相交與E，則

AE

=

1

2

(

AA1

+

AB

)=(

3

4

a，

1

4

a，

2

4

a)．這種解法的好處就是（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁?huà)個(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
（1）求A₁C與平面ADB₁的距離，可設(shè)面ADB₁的法向量

v

=(x，y，z)，取

v

=(-a，a，

2

a)，設(shè)A₁C面ADB₁的距離為d，則d=

| AA1 • v |

| v |

=

a2

2a

=

1

2

a．
（2）平面ABC的一個(gè)法向量為

m

=(0，0，a)，設(shè)平面A₁AB的法向量為

n

=(x，y，z)，則這兩個(gè)法向量的夾角的大小即為二面角A₁-AB-C的大小．
（3）由（2）可知：AB₁與平面ABC所成的角的大小即為平面ABC的一個(gè)法向量與

AE

的夾角的大小．

解答：解：（I）設(shè)A₁B與AB₁的交點(diǎn)為E，連DE
∵A₁C∥平面ADE，
∴A₁C∥DE且A₁C到平面ADE的距離等于點(diǎn)A₁到平面ADE的距離
又∵△CA₁B≌△CAB，
∴∠CA₁B=90°，
即CA₁⊥A₁B
∴A₁E⊥ED，又A₁E⊥AE
∴A₁E⊥平面ADE
∴A₁E為點(diǎn)A₁到平面ADE的距離，又A1E=

1

2

a
∴A₁C到平面ADB的距離等于

1

2

a
（Ⅱ）∵A₁ABB₁為平行四邊形，
∴A₁E=EB，又A₁C∥DE
∴D為BC中點(diǎn)
∵A₁A，A₁B，A₁C與平面ABC所成角相等
∴A₁A=A₁B=A₁C，
∴點(diǎn)A₁在平面ABC的射影為Rt△ABC的外心，
又RtABC外心為斜邊中點(diǎn)D，連A₁D，則A₁D⊥平面ABC
過(guò)D作DG⊥AB，連A₁G，
則A₁G⊥AB，∠A₁DG為二面角A₁-AB-C的平面角
∵DG∥CA，
∴DG=

1

2

AC=

1

2

a，
即二面角A₁-AB-C的大小為arccos

3

3

（Ⅲ）取BD中點(diǎn)F，連EF∥A₁D，
∵A₁D⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，連AF，
則∠EAF為A₁B與平面ABC所成的角
在Rt△ADA₁中，A1D=

A1A2-AD2

=

2

2

a，
∴EF=

1

2

A1D=

2

4

a，又AE=

3

2

a，sin∠EAF=

EF

AE

=

6

6

即AB₁與平面ABC所成的角為arcsin

6

6

解法二：（向量法）建立如圖坐標(biāo)系，則A（0，0，0）B（a，0，0），C（0，a，0）
連A₁B，由條件知，△A₁AB和△A₁AC均為等邊△且邊長(zhǎng)為a，
∴∠A₁AB=∠A₁AC=60°，設(shè)A（x，y，z），
則

AA1

=(x，y，z)
由

AA1

•

AB

=|

AA1

|•|

AB

|cos∠A1AB?ax=

1

2

a2?x=

1

2

a
同理得y=

1

2

a，由|

AA1

|=a得x2+y2+z 2=a2?z=

2

2

a
∴A(

1

2

a，

1

2

a，

2

2

a)，設(shè)A1B與AB1相交與E，則

AE

=

1

2

(

AA1

+

AB

)=(

3

4

a，

1

4

a，

2

4

a)
（I）A₁C∥面ADB₁，
∵A₁C∥ED，又E為A₁B中點(diǎn)，
∴D為BC中點(diǎn)，
∴D(

a

2

，

a

2

，0)，

AD

=(

a

2

，

a

2

，0)，
設(shè)面ADB₁的法向量

v

=(x，y，z)
則

v • AD =0 v • AE =0

?

a 2 x+ a 2 y=0 3a 4 x+ 1 4 ay+ 2 4 az=0

取

v

=(-a，a，

2

a)
設(shè)A₁C面ADB₁的距離為d，則d=

| AA1 • v |

| v |

=

a2

2a

=

1

2

a
（Ⅱ）平面ABC的一個(gè)法向量為

m

=(0，0，a)，
設(shè)平面A₁AB的法向量為

n

=(x，y，z)
則

n • AB =0 n • AA1 =0

?

ax=0 1 2 ax+ 1 2 ay+ 2 2 ax=0

，
取

n

=(0，-

2

a，a)
設(shè)

m

，

n

的夾角為θ1，則cosθ1=

m • n

| m |•| n |

=

3

3

即二面角A₁-AB-C的大小為arccos

3

3

（Ⅲ）設(shè)AB₁與平面ABC所成角為θ₂，
則sinθ2=|cosθ|=

| m • AE |

| m |•| AE |

=

2 4 a2

3 2 a2

=

6

6

∴θ2=arcsin

6

6

，
即AB₁與平面ABC所成角為arcsin

6

6

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，二面角及其度量，直線與平面所成的角，空間中點(diǎn)、線、面的距離計(jì)算和線面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．