Question

【題目】設點是拋物線上異于原點的一點，過點作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（、、三點互不相同）．

（1）已知點，求的最小值；

（2）若，直線的斜率是，求的值；

（3）若，當時，點的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】

（1）因為,設,則,由兩點間距離公式可求得:,即可得出的最小值;

（2）因為,所以,設的直線方程:,將與聯立方程組,消掉,通過韋達定理,將點坐標用表示同理可得到坐標.即可求得直線的斜率是,進而求得答案;

（3）因為,故.、兩點拋物線上,可得, ,即可求得向量和.由,可得到關于和方程,將方程可以看作關于的一元二次方程, 因為且,,故此方程有實根,,即可求得點的縱坐標的取值范圍.

（1） 在,設,則

由兩點間距離公式可求得:

令,

(當即取等號)

的最小值.

（2） ,,故

則的直線方程 :

將與聯立方程組,消掉

則: ,得:

化簡為:.

由韋達定理可得: 解得:

,可得: ,故

同理可得:

直線的斜率是

故: 即

的值為.

（3） ,,故

, 在、兩點拋物線上

,

,

,故

整理可得:

、、三點互不相同,故:,

可得: 即:

此方程可以看作關于的一元二次方程,

且,,故此方程有兩個不相等的實根:

即

故:

解得: 或

點的縱坐標的取值范圍: 或.