Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：，橢圓C2：，C2與C1的長軸長之比為∶1，離心率相同．

（1）求橢圓C2的標準方程；

（2）設點為橢圓C2上一點．

① 射線與橢圓C1依次交于點，求證：為定值；

② 過點作兩條斜率分別為的直線，且直線與橢圓C1均有且只有一個公共點，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析.

【解析】

（1）由題所求橢圓 a=,離心率，由得b即可；（2）①當直線OP斜率不存在時，得當直線OP斜率存在時，設直線OP的方程為，與橢圓聯立，同理，推得從而可求；②設，直線的方程為 即，記，則的方程為，代入橢圓C1的方程得，由，得，再將代入得，同理，得到關于為根的方程，由韋達定理及點P在橢圓上化簡即可求得為定值

（1）設橢圓C2的焦距為2c，由題意，，，，

解得，因此橢圓C2的標準方程為。

（2）①1°當直線OP斜率不存在時，

，，則．

2°當直線OP斜率存在時，設直線OP的方程為，

代入橢圓C1的方程，消去y，得，

所以，同理．

所以，由題意，同號，所以，

從而．

所以為定值．

②設，所以直線的方程為，即，記，則的方程為，

代入橢圓C1的方程，消去y，得，

因為直線與橢圓C1有且只有一個公共點，

所以，即，

將代入上式，整理得，，

同理可得，，

所以為關于k的方程的兩根，

從而．又點在橢圓C2：上，所以，

所以為定值．