Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形， ， 為平面外一點，且底面上的射影為四邊形的中心， ， 為上一點， ．

（Ⅰ）若為上一點，且，求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）在上取點，可證明四邊形為平行四邊形，得到，從而根據線面平行的判定定理得到平面；（Ⅱ）連接，因為為菱形，則，且.如圖建立空間直角坐標系，利用向量垂直數量積為零，分別列方程組求出平面的法向量與平面的法向量，根據空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦弦值，進而可得其正弦值.

試題解析：（Ⅰ）在上取點，使得，連接,可證平面平面，從而得到平面

(或在上取點，證明四邊形為平行四邊形得到，從而得到平面)

（Ⅱ）如圖，連接，因為為菱形，則，且.如圖建立空間直角坐標系.

因為，故，

所以，

．

由知， ，

從而，

即.

，

設平面的法向量為，平面的法向量為，

由，得

由，得

故可取

由，得

故可取，

從而法向量的夾角的余弦值為

，

故所求二面角的正弦值為.

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求二面角以及線面平行的判定定理，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.