Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l:y=-2的距離小1.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)P(2,2)的直線m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)=λ.

①當(dāng)λ=1時(shí),求直線m的方程；

②當(dāng)△AOB的面積為4時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求λ的值.

Answer 1

（1）解法一：設(shè)M(x,y)，則由題設(shè)得|MF|=|y+2|-1,

即=|y+2|-1,當(dāng)y≥-2時(shí),=y+1,化簡(jiǎn)得x²=4y;

當(dāng)y＜-2時(shí),=-y-3,

化簡(jiǎn)得x²=8y+8與y＜-3不合,故點(diǎn)M的軌跡C的方程是x²=4y.

解法二：∵點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到直線l:y=-2的距離小1，

∴點(diǎn)M在直線l的上方.點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線l′:y=-1的距離相等,

∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線.∴曲線C的方程為x²=4y.

（2）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意.

設(shè)直線m的方程為y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k)，代入x²=4y得x²-4kx+8(k-1)=0（*） 

Δ=16(k²-2k+2)＞0對(duì)k∈R恒成立，∴直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則x₁+x₂=4k,x₁x₂=8(k-1).

①由=λ,且λ=1得點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn),

∴x₁+x₂=4.則4k=4，得k=1.∴直線m的方程是x-y=0.

②∵|AB|==

=4.點(diǎn)O到直線m的距離d=,

∴S_△ABO=|AB|·d=4|k-1|=4.

∵S_△ABO=4,∴4=4.

∴(k-1)⁴+(k-1)²-2=0,(k-1)²=1或(k-1)²=-2（舍去）.∴k=0或k=2.

當(dāng)k=0時(shí),方程（*）的解為±2.若x₁=2,x₂=-2,則λ==3-2,

若x₁=-2,x₂=2,則λ==3+2.

當(dāng)k=2時(shí),方程（*）的解為4±2.若x₁=4+2,x₂=4-2,則λ==3+2,

若x₁=4-2,x₂=4+2,則λ==3-2,

∴λ=3+2或λ=3-2.