Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點．已知曲線C上任意一點P（x，y）（其中x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y軸的距離大1．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點，求

OA

•

OB

的值；
（3）若曲線C上不同的兩點M、N滿足

OM

•

MN

=0，求|

ON

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意知，動點P到定點F（1，0）的距離等于P到直線x=-1的距離，曲線C是以原點為頂點，F（1，0）為焦點的拋物線，由此可求曲線C方程；
（2）當l平行于y軸時，其方程為x=1，可得

OA

•

OB

=1-4=-3
當l不平行于y軸時，設其斜率為k，則由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用韋達定理及向量的數量積公式，可求

OA

•

OB

的值；
（3）設M(

y 2 1

4

，y1)，N(

y 2 2

4

，y2)，利用數量積公式及

OM

•

MN

=0，可得y2=-(y1+

16

y1

)，進一步表示出|

ON

|，即可確定|

ON

|的取值范圍．

解答：解：（1）依題意知，動點P到定點F（1，0）的距離等于P到直線x=-1的距離，曲線C是以原點為頂點，F（1，0）為焦點的拋物線
∵

p

2

=1，∴p=2，
∴曲線C方程是y²=4x
（2）當l平行于y軸時，其方程為x=1，由

x=1 y2=4x

，解得A（1，2），B（1，-2）
此時

OA

•

OB

=1-4=-3
當l不平行于y軸時，設其斜率為k，則由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁x₂=1，x1+x2=

2k2+4

k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=1+k2-k2•

2k2+4

k2

+k2=1-4=-3
（3）設M(

y 2 1

4

，y1)，N(

y 2 2

4

，y2)
∴

OM

=(

y 2 1

4

，y1)，

MN

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)
∵

OM

•

MN

=0
∴

y 2 1 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y1(y2-y1)=0
∵y₁≠y₂，y₁≠0，化簡得y2=-(y1+

16

y1

)
∴

y

2 2

=

y

2 1

+

256

y 2 1

+32≥2

256

+32=64
當且僅當 

y

2 1

=

256

y 2 1

，

y

2 1

=16，y1=±4時等號成立
∵|

ON

|=

( y 2 2 4 )2+ y 2 2

=

1

4

( y 2 2 +8)2-64

，又∵

y

2 2

≥64
∴當

y

2 2

=64，y2=±8，|

ON

|min=8

5

，
∴|

ON

|的取值范圍是[8

5

，+∞)

點評：本題考查拋物線的定義，考查向量的數量積，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是確定拋物線的方程，聯立方程，利用韋達定理求解．