Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（2，2）的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)

AP

=λ

PB

．當(dāng)△AOB的面積為4

2

時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求λ的值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知：點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx+（2-2k），代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k²-2k+2）＞0對k∈R恒成立，知直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，再由韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，利用

AP

=λ

PB

、△AOB的面積為4

2

，能求出λ的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線l：y=-2的距離小于1，
∴點(diǎn)M在直線l的上方，點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線l′：y=-1的距離相等，
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線C的方程為x²=4y．
（2）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
設(shè)直線m的方程為y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，（*）
△=16（k²-2k+2）＞0對k∈R恒成立，
所以，直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1），
∵|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x2+x1)-4x2x1]

=4

(1+k2)(k2-2k+2)

，
點(diǎn)O到直線m的距離d=

|2-2k|

1+k2

，
∴S△ABO=

1

2

|AB|•d
=4|k-1|•

k2-2k+2

=4

(k-1)4+(k-1)2

，
∵S△ABO=4

2

，∴4

(k-1)4+(k-1)2

=4

2

，
∴（k-1）⁴+（k-1）²-2=0，
∴（k-1）²=1，或（k-1）²=-2（舍去），∴k=0，或k=2．
當(dāng)k=0時(shí)，方程（*）的解為±2

2

，
若x1=2

2

，x2=-2

2

，則λ=

2+2 2

2 2 -2

=3-2

2

，
若x1=-2

2

，x2=2

2

，則λ=

2+2 2

2 2 -2

=3+2

2

，
當(dāng)k=2時(shí)，方程（*）的解為4±2

2

，
若x1=4+2

2

，x2=4-2

2

，則λ=

-2-2 2

2-2 2

=3+2

2

，
若x1=4-2

2

，x2=4+2

2

，則λ=

-2+2 2

2+2 2

=3-2

2

，
所以，λ=3+2

2

，或λ=3-2

2

．

點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用．