Question

【題目】已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且a2=b（b+c）．
（1）求證：∠A=2∠B；
（2）若a= b，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）證明：a2=b（b+c），

即BC2=AC（AC+AB），

延長CA至D，使AD=AB，連接DB．

則∠BAC=2∠D．

∴BC2=ACCD， ，

又∠C=∠C，

∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．

∴∠BAC=2∠ABC

（2）解：∵a= b，

∴a2=3b2，

又a2=b（b+c），

∴3b2=b2+bc，c=2b．

∴a2+b2=4b2，

c2=（2b）2=4b2．

即a2+b2=c2．

△ABC為直角三角形

【解析】（1）延長CA至D，使AD=AB，連接DB．根據a2=b（b+c）得到△BCA∽△DCB，然后由三角形中角的關系得答案；（2）由a= b結合a2=b（b+c）得到a2+b2=c2 ， 說明△ABC為直角三角形．