Question

已知雙曲線C：（a>0,b>0）的左、右焦點分別為、，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為.
（Ⅰ）求a,b；
（Ⅱ）設過的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點，且，證明：、、成等比數列.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

（Ⅰ）由題設知，即，故.
所以C的方程為.
將y=2代入上式，求得.
由題設知，，解得.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程為.  ①
由題意可設的方程為，，代入①并化簡得
.
設，，則
，，，.
于是
，

由得，即.
故，解得，從而.
由于，
.
故，
.
因而，所以、、成等比數列.
（1）利用待定系數法求解，利用已知條件建立含義的等量關系，進而確定曲線方程；(2)利用直線與曲線聯立方程組，借助韋達定理和弦長公式將、、表示出來，然后借助證明等比中項。
【考點定位】本題考查雙曲線方程與直線與雙曲線的位置關系，考查舍而不求的思想以及計算能力.