Question

已知函數(a ,bR，e為自然對數的底數），.
(I )當b=2時，若存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
(II)當a>0 時，設的圖象C₁與的圖象C₂相交于兩個不同的點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線交C₁于點，求證.

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析

（Ⅰ）先求出函數的導數，然后利用條件轉化為方程有解問題；（Ⅱ）構造函數，利用導數法研究函數的單調性。
（Ⅰ）當時，若，則
，原命題等價于在R上有解．…2分
法一：當時，顯然成立；
當時，
∴　，即．綜合所述　．…………………5分
法二：等價于在R上有解，即∴　．………………5分
（Ⅱ）設，不妨設，則，
，，
兩式相減得：，……………7分
整理得

則，于是，……9分
而
令，則設，則
，
∴　在上單調遞增，則，于是有，即，且，∴　，即．