Question

若方程x²+ax+b=0有不小于2的實根，則a²+b²的最小值為（　　）

• A、3
• B、

  16

  5

• C、

  17

  5

• D、

  18

  5

Answer 1

分析：本題首先有一個化歸問題，把方程x²+ax+b=0看作以（a，b）為動點的直線l：xa+b+x²=0的方程，把代數中的問題轉化為解析幾何的問題，這是解題的關鍵，由點到直線的距離d的最小性得到要求的量與已知之間的關系，構造函數，根據函數的單調性解出最值．

解答：解：將方程x²+ax+b=0看作以（a，b）為動點的直線l：xa+b+x²=0的方程，
則a²+b²的幾何意義為l上的點（a，b）到原點O（0，0）的距離的平方，
由點到直線的距離d的最小性知a²+b²≥d²
(

0+0+x2

x2+1

)2=

x4

x2+1

=(x2+1)+

1

x2+1

-2（x≥2），
令u=x²+1，易知f(u)=u+

1

u

-2（u≥5）在[5，+∞）上單調遞增，
則f（u）≥f（5）=

16

5

，
∴a²+b²的最小值為

16

5

．
故選B．

點評：本題是一個應用數學中的化歸思想來解題的，同時還要用數形結合思想，這是一個綜合題，解題過程中用到函數的單調性求最值，是一個中檔題．