Question

已知復數z=1+

2i

1-i

，則1+z+z²+z³+…+z²⁰¹²的值為（　　）

A．1+i

B．1

C．i

D．-i

Answer 1

分析：由復數的代數運算可得z=i，由等比數列的前n項和公式可得1+z+z²+z³+…+z²⁰¹²=1+

i(1-i2012)

1-i

，計算可得答案．

解答：解：∵z=1+

2i

1-i

=1+

2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=1+

-2+2i

2

=i，
故1+z+z²+z³+…+z²⁰¹²=1+

i(1-i2012)

1-i

，
而i²⁰¹²=（i²）⁵⁰⁶=（-1）⁵⁰⁶=1，故

i(1-i2012)

1-i

=0，
即故1+z+z²+z³+…+z²⁰¹²=1+

i(1-i2012)

1-i

=1，，
故選B．

點評：本題為復數的運算和等比數列的前n項和公式的應用，化簡復數的代數形式和等比數列的前n項和的應用是解決問題的關鍵，屬中檔題．