Question

【題目】已知函數f（x）=+ax，aR，

（1）討論函數f（x）的單調區間；

（2）求證：≥x；

（3）求證：當a≥-2時，x[1,+ ∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意，求得，根據和，分類討論，即可得到函數的單調區間；

（2）令，由（1）可知，函數的最小值為，即可證明不等式；

（3）不等式恒成立轉化為不等式，設出函數，利用導數求解函數的最小值，即可作出證明．

試題解析：

(1)解：fˊ(x) = +a.

（i）當a≥0時, fˊ(x)>0，函數f(x)在R上單調遞增；

(ii)當 a<0 時，令fˊ(x) =0,則ln（-a）+1，

當fˊ(x)>0,即x>ln( -a) + 1時，函數f (x)單調遞增；

當fˊ(x)<0,即x<ln( -a) + 1時，函數f (x)單調遞減.

綜上，當a≥0時，函數f (x)在R上單調遞增；當a<0時，函數f (x)的單調遞增區間是(ln(-a)+1，+∞)， 單調遞減區間是(一∞,ln(-a)十1).

（2）證明:令 a= — 1,由（1)可知，函數/(x) =—x 的最小值為f (1)=0,

∴—x≥0, 即≥x

（3）證明：f (x)十ln ≥a+1 恒成立與f (x)十ln x-a-1≥0 f恒成立等價.

令 g(x)=f(x)+lnx-a-1,g(x)=+ a(x—1)+ lnx-1,則gˊ(x) =++a.

當a≥—2時，gˊ（x) = 十十a≥x十十a≥+a = a十2≥0,(或令φ(x) = 十，則φˊx) = —在[1，十∞)上遞增，∴φˊ (x)在[1，十∞)上遞增，∴φ(x) ≥φ(1) = 2，

∴gˊ(x) ≥0).

∴g(x)在區間[1，十∞)上單調遞增，

∴g(x) ≥g(1)=0，

∴ f(x)十ln x≥a+1 恒成立