Question

【題目】某省高中男生身高統計調查數據顯示：全省100000名男生的身高服從正態分布N（170.5，16）．現從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于157.5cm和187.5cm之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組[157.5，162.5），第2組[162.5，167.5），…，第6組[182.5，187.5]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（1）試評估該校高三年級男生的平均身高；
（2）求這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數；
（3）在這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，該2人中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數記為ξ，求ξ的分布列和數學期望．
參考數據：若ξ～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據頻率分布直方圖，得我校高三年級男生平均身高為 =160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，

∴高于全市的平均值170.5；

（2）解：由頻率分布直方圖知，后兩組頻率為0.2，

∴人數為0.2×50=10，

即這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人數為10人；

（3）解：∵P（170.5﹣3×4＜ξ≤170.5+3×4）=0.9974，

∴P（ξ≥182.5）= =0.0013，

∴0.0013×100 000=130，

全省前130名的身高在182.5 cm以上，這50人中182.5 cm以上的有5人；

∴隨機變量ξ可取0，1，2，于是

P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= =，

∴Eξ=0× +1× +2× =1．

【解析】（1）計算平均身高用組中值×頻率，即可得到結論；（2）先理解頻率分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數，即每組中包含個體的個數；
根據頻數分布直方圖，了解數據的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數；（III）先根據正態分布的規律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人數，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列與期望．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息，以及對離散型隨機變量及其分布列的理解，了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．