Question

【題目】已知二次函數 ，

（1）若，且對，函數的值域為，求的表達式；

（2）在(1)的條件下，函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；

（3）設，，且為偶函數，證明

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由題意首先求得a,b的值，據此即可確定函數f(x)的解析式，即可確定函數的表達式；

（2）由題意結合函數的解析式得到關于m的不等式組，求解不等式組即可確定實數的取值范圍；

（3）由題意結合函數的性質可得，且，據此結合函數的解析式即可證得題中的不等式.

（1）∵，

∴.

又對，函數的值域為，

∴，解得，

所以.

即

（2）由（1）知

由時，單調遞減，

故，

解得，

所以，當時，函數在上單調遞減.

（3）證明∵是偶函數，∴，

即

因為，不妨令，則，

又，所以，且，

故，

所以的值大于零.