Question

等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）求數列{

n

an

}的前n項和S_n；
（3）設 b_n=log 

1

3

a₃+…+log 

1

3

a_2n-1（n∈N^*），若數列{b_n+kn）是遞增的數列，求k的取值范圍..

Answer 1

分析：（1）設數列{a_n}的公比為q，通過解方程組可求得a₁與q，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）根據（1）的答案代入

n

an

得到表達式，然后利用錯位相減法求出前n項和即可．
（3）先說明{b_n}是一個首項為1，公差為2的等差數列，然后求出通項，再根據數列{b_n+kn）是遞增的數列建立關系式，解之即可．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公比為q，則根據已知條件得
2a₁+3a₂=2a₁+3a₁q=1，（a₁q²）²=9a₁q•a₁q⁵
解得，q²=

1

9

，根據已知條件q＞0，∴q=

1

3

，a1=

1

3

，
故數列{a_n}的通項式為a_n=

1

3n

，
（2）

n

an

=n•3ⁿ，∴S_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ ①
3S_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹  ②
②-①得，2S_n=-（3¹+3²+…+3ⁿ）+n•3ⁿ⁺¹+n•3ⁿ⁺¹=

3

2

-(n+

1

2

)3n+1
∴S_n=

3

4

-

2n+1

4

•3n+1
（3）a2n-1=

1

32n-1

，∴log 

1

3

a_2n-1=log

1

3

1

32n-1

=2n-1，
∴{b_n}是一個首項為1，公差為2的等差數列，
b_n=log 

1

3

a₃+…+log 

1

3

a_2n-1=

n(1+2n-1)

2

=n2
∴b_n+kn=n²+kn，
又數列{b_n+kn）是遞增的數列，
∴-

k

2

≤

3

2

，解得k≥-3．
∴k的取值范圍為k≥-3．

點評：本題考查數列與不等式的綜合以及數列求和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題目．