Question

已知定義域為R的函數f(x)滿足f(f(x)－x²+x)=f(x)－x²+x.
（Ⅰ）若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）設有且僅有一個實數x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函數f(x)的解析表達式.

Answer 1

解：（Ⅰ）因為對任意x∈R，有f(f(x)－x² + x)=f(x)－ x² +x，
所以f(f(2)－ 2²+2)=f(2)－2²+2.
又由f(2)=3，得f(3－2²+2)－3－2²+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，則f(a－0²+0)=a－0²+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因為對任意x∈R，有f(f(x))－x² +x)=f(x)－x² +x.
又因為有且只有一個實數x₀,使得f(x₀)- x_0.所以對任意xεR，有f(x)－x² +x= x_0.
在上式中令x= x₀,有f(x₀)－x + x₀₌ x_0,
又因為f(x₀)－ x₀，所以x₀－x=0，故x₀=0或x₀=1.
若x₀=0，則f(x)－ x² +x=0，即f(x)= x²－x.
但方程x²－x=x有兩上不同實根，與題設條件矛質，故x₂≠0.
若x₂=1,則有f(x)－x² +x=1，即f(x)= x²－x+1.易驗證該函數滿足題設條件.
綜上，所求函數為f(x)= x²－x+1（xR）

略