Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】解：

（1）因?yàn)?/span>AP=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以OP⊥AC，且OP=．

連結(jié)OB．因?yàn)?/span>AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．

由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．

【解析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.

詳解：（1）因?yàn)?/span>AP=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以OP⊥AC，且OP=．

連結(jié)OB．因?yàn)?/span>AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．

由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．