Question

（本小題滿分12分）
已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析．
（Ⅱ）存在，使．

20．解法一：（Ⅰ）如圖，設(shè)，，把代入得，
由韋達(dá)定理得，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，
將代入上式得，
直線與拋物線相切，
，．
即．
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，
．
由（Ⅰ）知
．
軸，．
又
．
，解得．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如圖，設(shè)，把代入得
．由韋達(dá)定理得．
，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，
拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，．
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使．
由（Ⅰ）知，則






，
，，解得．
即存在，使．