Question

(本題滿分18分，其中第1小題4分，第2小題6分，第,3小題8分)
一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標依次是，(如圖所示，坐標以已知條件為準)，表示青蛙從點到點所經過的路程。
(1) 若點為拋物線準線上
一點，點，均在該拋物線上，并且直線經
過該拋物線的焦點，證明.
(2)若點要么落在所表示的曲線上，
要么落在所表示的曲線上，并且,
試寫出（不需證明）；
(3)若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達式.

Answer 1

解：(1)設，由于青蛙依次向右向上跳動，
所以，，由拋物線定義知：            分
(2) 依題意，


隨著的增大，點無限接近點                            分
橫向路程之和無限接近，縱向路程之和無限接近       分
所以 =                                              分
(3)方法一：設點，由題意，的坐標滿足如下遞推關系：，且
其中                 分
∴，即，
∴是以為首項，為公差的等差數列，
∴，
所以當為偶數時，，于是，
又
∴當為奇數時，        分
當為偶數時，



當為奇數時，



所以，當為偶數時，
當為奇數時，
所以，                        分
方法二：由題意知      
其中

觀察規律可知：下標為奇數的點的縱坐標為首項為，公比為的等比數列。相鄰橫坐標之差為首項為2，公差為1的等差數列。下標為偶數的點也有此規律。并由數學歸納法可以證明。                                                              分
所以，當為偶數時，
當為奇數時，                              
當為偶數時，
當為奇數時，    分
所以，                     分
 

略