Question

.已知函數f(x)=x²+|x-a|+1,a∈R.

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.

Answer 1

（1）f(x) 為非奇非偶函數（2）a²+1

解析:

(1)當a=0時，函數f(-x)=(-x)²+|-x|+1=f(x),

此時,f(x)為偶函數.當a≠0時，f(a)=a²+1,f(-a)=a²+2|a|+1,

f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數.

（2）當x≤a時,f(x)=x²-x+a+1=(x-)²+a+,

∵a≤,故函數f(x)在（-∞，a］上單調遞減，

從而函數f(x)在（-∞，a］上的最小值為f(a)=a²+1.

當x≥a時，函數f(x)=x²+x-a+1=(x+)²-a+,

∵a≥-，故函數f(x)在［a，+∞）上單調遞增，從而函數f(x)在［a，+∞)上的最小值為f(a)=a²+1.

綜上得，當-≤a≤時，函數f(x)的最小值為a²+1.