Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.

（2）當(dāng)時(shí)，若對任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得時(shí)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得所求切線方程；

（2）求得的導(dǎo)數(shù)，討論，，的單調(diào)區(qū)間，考慮在，的單調(diào)性，求得最小值，可令其不小于，解不等式可得所求范圍．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，

又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

（2）由，

得.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

則，顯然成立；

當(dāng)時(shí)，由，得；

由，得，

所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.

①時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

所以，

所以對任意的，都有等價(jià)于，

即，

解得，

又，所以；

②當(dāng)時(shí)，，

所以在上的最小值為.

又當(dāng)時(shí)，，顯然成立.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.