Question

已知：函數f（x）=x-

1

x

，
（1）求：函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性并說明理由；
（3）判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）由函數的解析式可知，分式的分母不為0，可得函數的定義域．
（2）利用奇偶函數的定義，先判斷定義域是否關于原點對稱，然后探討f（-x）與f（x）關系可得函數的奇偶性．
（3）利用函數單調性的定義，然后判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，可得其單調性．

解答：解：（1）定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定義域關于原點對稱，f（-x）=（-x）-

1

-x

=-x+

1

x

=-f(x)，
則：函數f（x）是奇函數；
（3）判斷：函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
證明：任取x₁，x_2∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=(x1-x2)+

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵x₁，x_2∈（0，+∞），∴1+

1

x1x2

＞0，
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了函數的定義域，奇偶性，單調性的判斷方法，把握定義是解決問題的方法，是基礎題．