Question

已知m為常數，函數f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，試判斷f（x）的單調性（不需證明）；
（3）若m＞0，存在x∈[-2，2]，使f（e^x+xe^x-k）+f（2）≤0，求實數k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數，f（-x）+f（x）=0，可構造關于m的方程，解方程可得m的值；
（2）由m＞0，求出函數的解析式，進而根據指數函數的單調性及單調性的性質，判斷出f（x）的單調性
（3）由m＞0，求出函數的解析式，結合函數的奇偶性和單調性，可將原不等式轉化為e^x+xe^x-k≥-2，進而構造函數g（x）=e^x+xe^x+2，結合函數的單調性，求出函數的最值，進而求出實數k的最大值．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數．
∴f（-x）+f（x）=0，
∴

m-2-x

1+m•2-x

+

m-2x

1+m•2x

=0，
∴（m²-1）（2^x+2^-x）=0，即m²=1，
∴m=±1…（4分）
（2）∵m＞0
∴m=1
∴f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1
由y=1+2^x為增函數，故y=

2

1+2x

為減函數
故f(x)=

1-2x

1+2x

在R上單調遞減…（7分）
（3）∵m＞0
∴m=1
∴f(x)=

1-2x

1+2x

由f（e^x+xe^x-k）≤-f（2）=f（-2），得e^x+xe^x-k≥-2，…（9分）
即k≤e^x+xe^x+2．
而g（x）=e^x+xe^x+2在[-2，2]上單調遞增，
所以在x=2時，g（x）的最大值為3e²+2．
∴k≤3e²+2，
從而kmax=3e2+2…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，函數單調性的性質及函數奇偶性的性質，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．