Question

（2012•宿州一模）已知m為實常數，設命題p：函數f(x)=ln(

1+x2

+x)-mx在其定義域內為減函數；命題q：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-1，1]恒成立．
（1）當p是真命題，求m的取值范圍；
（2）當“p或q”為真命題，“p且q”為假命題時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題條件，先利用導數知識求解p為真時m的范圍
（2）由p或q”為真命題，“p且q”為假命題可知P，q中一個為真，一個為假，分類討論即可求解

解答：解：（1）∵f(x)=ln(

1+x2

+x)-mx的定義域內為R
∵f′(x)=

( 1+x2 +x)′

1+x2 +x

-m=

x 1+x2 +1

1+x2 +x

-mll=

1

1+x2

-m
∵函數f(x)=ln(

1+x2

+x)-mx在其定義域內為減函數
∴f′（x）=

1

1+x2

-m≤0恒成立
∴m≥

1

1+x2

∴m≥1
（Ⅱ）由x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根可得，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8+a2

當a∈[-1，1]時，a²+8≤9即|x₁-x₂|≤3   …（7分）
由題意不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-1，1]恒成立的解集等價于|m²-5m-3|≥3的解集
∴m²-5m-3≥-3（1）或m²-5m-3≤-3（2）
由（1）可得m≤-1或m≥6
由（2）可得0≤m≤5
所以，當m≤-1或0≤m≤5或m≥6時，q是真命題．…（9分）
又由題意可知p、q為一真一假．
當p真q假時，解得5＜m＜6；當p假q真時，解得m≤-1或0≤m＜1 …（10分）
綜上所述，所求m的取值范圍為（-∞，-1]∪[0，1]∪（5，6）…（13分）

點評：本題必要條件、充分條件與充要條件的判斷與應用，求解本題關鍵是對p條件中恒成立問題的正確轉化以及q條件中只有一個實數滿足不等式這個存在性問題的正確理解與轉化．此兩點也是本題的易錯點．