Question

已知m為常數，函數f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，試判斷f（x）的單調性（不需證明）；
（3）若m＞0，存在x∈[-2，2]，使f（x²-2x-k）+f（2）≤0，求實數k的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函數是奇函數，建立方程f（-x）=-f（x），然后求m．
（2）利用指數函數的性質，判斷函數的單調性．
（3）利用函數的奇偶性和單調性將不等式進行轉化，進而求實數k的最大值．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數．
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，得

m-2-x

1+m•2-x

+

m-2x

1+m•2x

=0，
∴整理得（m²-1）（2^x+2^-x）=0恒成立，
即m²=1，∴m=±1．
（2）∵m＞0，∴m=1，
此時函數f（x）=

1-2x

1+2x

在R上單調遞減．
（3）∵f（x²-2x-k）+f（2）≤0，
∴f（x²-2x-k）≤-f（2）=f（-2），
∵函數f（x）=

1-2x

1+2x

在R上單調遞減．
∴x²-2x-k≥-2，
即k≤x²-2x+2．
而g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵x∈[-2，2]，
∴當x=-2時，g（x）有最大值g（-2）=10．
∴k≤10，從而k_max=10．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，考查學生分析命題，解決問題的能力．綜合性較強．