Question

【題目】已知函數，，

（1）求的解析式；

（2）關于的不等式的解集為一切實數，求實數的取值范圍；

（3）關于的不等式的解集中的正整數解恰有個，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）根據函數的解析式進行化簡，即可求解；

（2）由（1）化簡，并分離參數，利用換元法，構造法求出函數的最值，即可求解；

（3）由（1）化簡，結合條件將不等式化為，利用函數的性質，列出不等式，即可求解.

（1）由題意，函數，，則，

所以函數的解析式；

（2）由（1）和，可得，

即的解集為，

設，則，即，

又由函數在為單調遞增函數，

所以當時，函數的最小值為，則，

即實數的取值范圍是.

（3）由（1）和，可得，

因為不等式的解集中正整數解恰好由3個，

所以當時，有，

若，則該不等式在上恒成立，與題設矛盾.

故，所以，

設不等式的解集為，

又由函數的性質和條件，

可得，所以，

解得，即實數的取值范圍是.