Question

【題目】已知函數f(x)＝ax＋ (a＞1)，

(1)判斷函數f(x)在(－1，＋∞)上的單調性，并證明你的判斷；

(2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精確到0.1)．

Answer 1

【答案】（1）函數 在 上為增函數;證明見解析

（2）區間中點0.28125的近似值0.3為滿足條件的近似值

【解析】試題分析：（1）用定義法證明單調性.任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2代入 做差得 ，所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數；（2）用二分法求此正根.f(x)在(0，＋∞)上為增函數，因此f(x)＝0僅有一個正根，因為 f(0)＝－1＜0，f(1)＝ ＞0，所以可取[0,1]為計算的初始區間列出表格，由于區間[0.25,0.3125]的長度是0.3125－0.25＝0.0625＜0.1，所以區間中點0.28125的近似值0.3為滿足條件的近似值．

試題解析：

解：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝a－a＋－

＝(a－a)＋，

∵x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，a－a＜0.

∴f(x1)＜f(x2)．∴函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數．

(2)由(1)知f(x)在(0，＋∞)上為增函數，因此f(x)＝0的正根僅有一個，可用二分法求此正根的近似值．

由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝ ＞0，取[0,1]為計算的初始區間，列表如下：

	左端點	右端點
第1次	0	1
第2次	0	0.5
第3次	0.25	0.5
第4次	0.25	0.375
第5次	0.25	0.3125

由于區間[0.25,0.3125]的長度是0.3125－0.25＝0.0625＜0.1，所以區間中點0.28125的近似值0.3為滿足條件的近似值．