Question

怎樣求二次函數f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)在閉區間[p，q]上的最值？

Answer 1

答案：
解析：

解：畫出函數f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的圖像，如下圖所示． 　　觀察圖像，得函數f(x)＝x2－2x在區間[－2，1]上是減函數，則此時最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；函數f(x)＝x2－2x在區間(1，3]上是增函數，則此時最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝－1； 　　則函數f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的最大值是8，最小值是－1．因此可見，求二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在閉區間[p，q]上的最值的關鍵是看二次項系數a的符號和對稱軸x＝的相對位置，由此確定其單調性，再由單調性求得最值． 　　可以利用同樣方法歸納出結論： 　　若a＞0，則 　　(1)當＜p，即對稱軸在區間[p，q]的左邊時，畫出草圖如圖(1)，從圖像上易得f(x)在[p，q]上是增函數，則f(x)min＝f(p)，f(x)max＝f(q)． 　　(2)當p≤≤，即對稱軸在區間[p，q]的左端點與區間中點之間時，畫出草圖如圖(2)．從圖像上易得f(x)在[p，q]上的最值情況是f(x)min＝f()＝，f(x)max＝f(q)． 　　(3)當＜≤q，即對稱軸在區間[p，q]的中點與右端點之間時，畫出草圖如圖(3)．從圖像上易得f(x)在[p，q]上的最值情況是f(x)min＝f()＝，f(x)max＝f(p)． 　　(4)當＞q，即對稱軸在區間[p，q]的右邊時，畫出草圖如圖(4)．從圖像上易得f(x)在[p，q]上是減函數，則f(x)min＝f(q)，f(x)max＝f(p)． 　　對a＜0的情況，可類似得出． 　　即二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在閉區間[p，q]上的最值： 　　設f(x)在區間[p，q]上的最大值為M，最小值為m，x0＝(p＋q)． 　　結合圖像得： 　　當a＞0時， 　　若＜p，則f(p)＝m，f(q)＝M； 　　若p≤≤x0，則f()＝m，f(q)＝M； 　　若x0＜≤q，則f(p)＝M，f()＝m； 　　若＞q，則f(p)＝M，f(q)＝m． 　　當a＜0時， 　　若＜p，則f(p)＝M，f(q)＝m； 　　若p≤≤x0，則f()＝M，f(q)＝m； 　　若x0＜≤q，則f(p)＝m，f()＝M； 　　若＞q，則f(p)＝m，f(q)＝M．

提示：

剖析：求二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在閉區間[p，q]上的最值時，易錯認為最大值是f(q)，最小值是f(p)．其突破方法是結合二次函數f(x)在閉區間[p，q]上的圖像，依據函數的單調性求出．我們知道，①如果函數y＝f(x)在區間(a，b]上單調遞增，在區間[b，c)上單調遞減，則函數y＝f(x)在x＝b處有最大值f(b)；②如果函數y＝f(x)在區間(a，b]上單調遞減，在區間[b，c)上單調遞增，則函數y＝f(x)在x＝b處有最小值f(b)．因此二次函數f(x)在閉區間[p，q]上的最值問題轉化為判斷其單調性問題． 　　例如：求函數f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的最大值和最小值． 　　思路分析：畫出函數的圖像，寫出單調區間，根據函數的單調性求出．