Question

【題目】若為某一整系數多項式的根，則稱為“代數數”.否則，稱為“超越數”，證明：

（1）可數個可數集的并為可數集；

（2）存在超越數.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）設為可數集（注意到，題中所述的可數集有可數個.則可對這些集合進行自然數編號）.

設.

將與對應（、均為正整數），則為有理數.故中有元素與有理數集中的元素一一對應.

因為有理數集為可數集，所以，為可數集.

（2）設所有次整系數多項式的根構成的集合為.

只需證明：次整系數多項式有可數個，即，

其中，均為正整數，有可數種取值.

用數學歸納法證明.

（i）證明有可數個，

對固定的、有可數種取值，又有可數種取值，由（1）知可數個可數集的并為可數集.因此，有可數個.

（ii）假設有可數個.

對固定的，則有可數個.

又有可數種取值，則由（1）知有可數個，每個整系數多項式有可數個根，而次整系數多項式有可數個，故次整系數多項式的所有根構成的集合為可數集.

由（1）知為可數集，即代數數集為可數集.

又為不可數集，故超越數一定存在.