【題目】如圖，四棱錐
的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的
倍，
為側棱
上的點.
（1）求證：
；
（2）若
平面
，求二面角
的大小；
（3）在（2）的條件下，側棱
上是否存在一點
，使得
平面.若存在，求
的值；若不存在，試說明理由.
【答案】(1)見證明；(2) 
(3)見解析
【解析】
（1）先證明
平面
，即可得到
；
（2）由題設知，連
，設
交于于
，由題意知
平面
.以為坐標原點，
，
，
分別為
軸、
軸、
軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面
與平面
的一個法向量，求法向量的夾角余弦值，即可求出結果；
（3）要使
平面，只需
與平面的法向量垂直即可，結合(2)中求出的平面的一個法向量，即可求解.
（1）連交于，由題意
.
在正方形中，
，
所以平面，得
（2）由題設知，連，設交于于，由題意知平面.以為坐標原點，，，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系
如圖.
設底面邊長為
，則高
.
則
，
，
又
平面，
則平面的一個法向量
，
平面的一個法向量
，
則
，
又二面角
為銳角，則二面角為；
（3）在棱
上存在一點
使平面.由（2）知
是平面的一個法向量，
且，
設
，
則
又平面，所以
，
則
.
即當
時，
而
不在平面內，故平面.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】目前有聲書正受著越來越多人的喜愛．某有聲書公司為了解用戶使用情況，隨機選取了
名用戶，統計出年齡分布和用戶付費金額（金額為整數）情況如下圖．
有聲書公司將付費高于
元的用戶定義為“愛付費用戶”，將年齡在
歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”．已知抽取的樣本中有
的“年輕用戶”是“愛付費用戶”．
（1）完成下面的
列聯表，并據此資料，能否有
的把握認為用戶“愛付費”與其為“年輕用戶”有關？
愛付費用戶 | 不愛付費用戶 | 合計 | |
年輕用戶 | |||
非年輕用戶 | |||
合計 |
（2）若公司采用分層抽樣方法從“愛付費用戶”中隨機選取
人，再從這人中隨機抽取
人進行訪談，求抽取的人恰好都是“年輕用戶”的概率．
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．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為響應黨中央“扶貧攻堅”的號召，某單位指導一貧困村通過種植紫甘薯來提高經濟收入.紫甘薯對環境溫度要求較高，根據以往的經驗，隨著溫度的升高，其死亡株數成增長的趨勢.下表給出了2017年種植的一批試驗紫甘薯在溫度升高時6組死亡的株數：
經計算： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，其中
分別為試驗數據中的溫度和死亡株數， 
.
（1）若用線性回歸模型，求
關于
的回歸方程
（結果精確到
）；
（2）若用非線性回歸模型求得
關于
的回歸方程為
，且相關指數為
.
（i）試與（1）中的回歸模型相比，用
說明哪種模型的擬合效果更好；
（ii）用擬合效果好的模型預測溫度為
時該批紫甘薯死亡株數（結果取整數）.
附：對于一組數據
， 
，……， 
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為： 
；相關指數為： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—5: 不等式選講
已知函數f(x)＝
的定義域為R.
(Ⅰ)求實數m的取值范圍；
(Ⅱ)若m的最大值為n，當正數a，b滿足
＝n時，求7a＋4b的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
為參數且
，
，
，曲線
的參數方程為
為參數），以
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求的普通方程及的直角坐標方程；
（2）若曲線與曲線
分別交于點
，
，求
的最大值．
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