Question

如圖所示，在△ABC中，

CA

⊥

CB

，

OA

=(0，-2)，M在y軸上，且

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，C在x軸上移動(dòng)．
（Ⅰ）求點(diǎn)B的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F(0，-

1

4

)的直線l交軌跡E于H，G兩點(diǎn)（H在F，G之間），若

FH

=

1

2

HG

，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)B（x，y），C（a，0），M（0，b），a≠0，根據(jù)

CA

⊥

CB

，得出∠ACB=90°，于是a²=2b，再結(jié)合M在y軸上，及題中向量關(guān)系得出M是BC的中點(diǎn)，x，y的關(guān)系式即為B的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)滿足條件的直線l的方程，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量關(guān)系式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)B（x，y），C（a，0），M（0，b），a≠0，∵

CA

⊥

CB

，即∠ACB=90°∴

2

a

•

b

-a

=-1，
于是a²=2b①M(fèi)在y軸上，且

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，∴M是BC的中點(diǎn)，可得

a+x 2 =0 y+0 2 =b

∴

a=-x b= y 2

②
把②代入①得y=x²（x≠0），所以B的軌跡E的方程為y=x²（x≠0）（6分）
（Ⅱ）點(diǎn)F(0，-

1

4

)，設(shè)滿足條件的直線l的方程為y=kx-

1

4

，H（x₁，y₁），G（x₂，y₂）
由

y=kx- 1 4 y=x2

得x2-kx+

1

4

=0，△=k²-1＞0，∴k²＞1，
∵

FH

=

1

2

HG

，
∴(x1，y1+

1

4

)=

1

2

(x2-x1，y1-y2)，
∴x1=

1

2

x2-

1

2

x1，
∴3x₁=x₂，
∵x₁+x₂=k，x1x2=

1

4

，
∴k=±

2 3

3

（13分）
直線l的斜率：k=±

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，提高解題能力和解題時(shí)技巧，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．