Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓的參數方程為為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為.

（1）求圓的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）設直線與軸，軸分別交于兩點，點是圓上任一點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）4.

【解析】

（1）運用同角的平方關系可得圓的普通方程；運用兩角和的余弦公式和直角坐標和極坐標的關系，即可得到所求直線的直角坐標方程；

（2）求得直線與，軸的交點，利用兩點間距離公式求得；設點的坐標為，運用點到直線的距離公式，以及兩角和的余弦公式，運用余弦函數的值域，即可得到所求面積的最小值．

解：（1）由消去參數，得，

所以圓的普通方程為.

由，得，

所以直線的直角坐標方程為.

（2）由（1）可得直線與軸，軸的交點為，

則，

設點的坐標為，則點到直線的距離為

，

當時取最小值，

∴，

所以面積的最小值是.