Question

【題目】已知數列，滿足：對于任意正整數n，當n≥2時，．

（1）若，求的值；

（2）若，，且數列的各項均為正數．

① 求數列的通項公式；

② 是否存在，且，使得為數列中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）84；（2）①（）；②，理由見解析.

【解析】

（1）在已知數列遞推公式分別取為，累加可得的值；

（2）① 利用累加法求得，開方后求得數列的通項公式；

②由數列的通項公式求出，設，得到，列出不等式組，即可求解.

（1）由題意，因為，且，

可得，，，， ，，各式相加，可得.

（2）由，且，

可得，，，…，.

將上面的式子相加，得，

所以.

因為{an}的各項均為正數，故.

因為也適合上式，所以（）.

② 假設存在滿足條件的k ,不妨設，

所以， 平方得，（*）

所以，

所以且，即

由（1）得，，即，

若，代入（*）式，求得不合，舍去；

若，結合（2）得，

所以，即，又且，

所以的可能取值為2，34，代入（*）式逐一計算，可求得.